Sottovarietà generica di una varietà Sasakiana a campi vettoriali anti-invarianti $ \Phi \ $-ricorrenti

Manganaro, Rita (1983) Sottovarietà generica di una varietà Sasakiana a campi vettoriali anti-invarianti $ \Phi \ $-ricorrenti. Accademia Peloritana dei Pericolanti, Classe di Scienze FF. MM. NN., LXI. pp. 127-134.

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Abstract

Soit $x: M -> \quad \tilde{M} ( \phi \ , \xi \ , \quad \tilde{ \eta \ } , \quad \tilde{g} ) $ l’immersion d'une sous-variété générique (dans le sens de K. Yano et M. Kon [1]) dans une variété sasaienne $ \quad \tilde{M} $ ayant pour tenseurs de structure $ \Phi \ , \xi \ , \quad \tilde{ \eta \ } et \quad \tilde{g} $. Si $Z \in \ T_p (M)$ est un champ tangent quelconque à $M(T_p(M)$: espace tangent à M en $p \in \ M$) on pose [1] $ \Phi \ Z=PZ + FZ$ où P Z est la partie tangentielle et F Z la partie normale de $ \Phi \ Z$. D’autre part pour tout couple Z, Z’ de vecteurs tangents à M on a l’équation de Gauss: $ \quad \tilde{ \nabla \ }_Z Z'= \nabla \ _Z Z'+ B(Z,Z')$ où B est la seconde forme fondamentale de M. Si B est de la forme $(a)B(Z, Z') = = \eta \ (Z)B(Z', \xi \ )+ \eta \ (Z')B(Z, \xi \ )$ la sous-variété M est par définition [1] totalement contact géodésique. Dans cet ouvrage nous supposons que M est de dimension 2m+1 et la sous-variété générique de codimension 2 (si dim M=n+1 -> n=2 m — 2). Une pareille sous-variété M est associée avec deux distributions. L’une notée par D (distribution horizontal) est invariante par $ \Phi \ $, soit $ \Phi \ D_\subset \ T_p(M) $ et l’autre notée par $D^\perp \ $ (distribution verticale) est anti-invariante par $ \Phi \ $, soit $ \Phi \ $ $D^\perp \ _\subset \ T_p(M)^\perp \ $, $(T_p(M)^\perp \ $: espace normal à M). Cette propriété fait que conformément à la définition de A. Bejancu [2] on peut considerer la sous-variété générique M comme étant une CR-sous-variété. Conformément aux notations de [1], on peut aussi écrire: $D= \mathfrak{L} \ $; $ \mathfrak{L} \ _p= {Z \in \ T_p(M):FZ=O } $; $ \forall \ Z \in \ T_p(M)$ et $D^\perp \ = \mathfrak{T} \ $; $\mathfrak{T} \ _p= {Z \in \ T_p(M):PZ=O$ et $ \eta \ (Z)=0 } $. Dans ces conditions nous disons que M porte un champ vectoriel X anti-invariant $ \Phi \ $-récurrent, soit $X \in \ \Phi \ T_p(M)^\perp \ $ si X satisfait à: (i) $ \nabla \ X= \alpha \ \bigotimes \ \Phi \ X$; $ \alpha \ = \Lambda \ ^1(M)$, (ii) les conditions de récurrence dans l’espace $D \bigotimes \ T(M)^\perp \ $sont satisfaites quel que soit X. La variété M posséde alors les propriétés suivantes: (I) M est totalement contact géodésique; (II) le champ X est une direction géodésique et est un champ de Killings; (III) M est feuilletée par des hypersurfaces orthogonales à X; (IV) la 2-form simple unitaire $D^\perp \ = \mathcal{T} \ $ est harmonique et les sous-variétés intégrales correspondantes sont totalement géodésiques; (V) la distribution $D = \mathcal{L} \ $ est elle aussi involutive.

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